ベクトルと行列　フーリエ展開

ベクトルの成分数すなわちベクトル空間の次元をn→∞にした時を考えてみましょう。図10.1のようにt=0〜Tを定義域とする連続関数x=f(t)があったとします。この関数についてΔt=T/n間隔でt=Δt、2・Δt、…、j・Δt、…、n・Δt=Tのn個のポイントで関数の値を計算したものをx₁=f(Δt)、x₂=f(2・Δt)、…、x_j=f(j・Δt)、…、x_n=f(n・Δt)=f(T)とします。このx₁〜x_nを並べると、次のようにn次元ベクトルになります。

このベクトルｘは添字jを媒介変数とした離散関数x(j)と考えることができます。なお添字をjとしたのは、zの添字iと区別するためです。図10.1でn→∞にしていくと、Δt→0になって関数値のプロットとプロットの間隔が詰まっていき、最終的にはプロットとプロットがつながって連続関数x=f(t)そのものになります。この時、無限次元ベクトルｘは添字jを媒介変数とした連続関数x(j)=f(t)になります。つまりn次元ベクトルｘは添字jを媒介変数とした離散関数(とびとびの値を取る関数)と考えられ、無限次元ベクトルｘは添字jを媒介変数とした連続関数と考えられるわけです。

そうすると無限次元ベクトルｘは、無限個の直交基底ｚ₁、…、ｚ_i、…を用いて次のように直交分解することができます。

ここで、ベクトルの内積を無限次元にまで拡張すると次のようになります。これを関数の内積と呼びます。

次のように、もしz_i(j)とz_k(j)(i≠k)の内積が0になり、z_i(j)自身の内積すなわちz_i(j)のノルムの平方が1になると、これらの関数は無限次元ベクトル空間の正規直交基底になり、無限本の直交座標軸に対応します。

このように、n次元ベクトル空間を無限次元まで拡張したものをヒルベルト空間(Hilbert space)と呼びます。ヒルベルト空間ではベクトルｘは連続関数x(j)に相当し、ベクトルｘとベクトルｙの内積は連続関数x(j)と連続関数y(j)の積の積分に相当します。 _(注１)

2) フーリエ展開

ヒルベルト空間上のベクトルｘつまり連続関数x(j)を、直交基底ｚ₁、…、ｚ_i、…つまり直交基底関数z₁(j)、…、z_i(j)、…で直交分解すると次のようになります。

これを関数x(j)のz_i(j)に関するフーリエ級数(Fourier series)といい、係数a_iをフーリエ係数、関数をフーリエ級数に直交分解することをフーリエ展開といいます。もしz_i(j)が正規直交基底関数なら、∫{z_i(j)}²dj=1から次のように簡単になります。

この時、三平方の定理に相当する関係は次のようになります。これをパーセヴァル(Parseval)の等式といいます。パーセヴァルの等式はヒルベルト空間における三平方の定理、つまり三平方の定理を無限次元まで拡張したものに他なりません。

ヒルベルト空間上でベクトルを直交分解する時、正規直交基底関数としては基本ベクトルに相当するパルス関数(ある点だけが1で他は0の関数、ディラックのδ関数とも呼ぶ)が、直交基底関数としては周期Tの三角関数{1、cos(2πj/T)、sin(2πj/T)、…、cos(2πij/T)、sin(2πij/T)、…}がよく用いられます。

三角関数については、2つの基底関数の内積∫z_i(j)z_k(j)djが次のように5通りあります。

このうち、例えば3番目の式についてi≠kの時とi=kの時を計算すると次のようになり、確かに直交しています。

他の式についても同様にして次のようになり、直交基底関数であることがわかります。

一方、基底関数のノルムの平方∫{z_i(j)}²djは3通りあり、次のように正規直交基底関数になるとは限りません。

これらを利用するとx(j)のフーリエ展開は次のようになります。フーリエ展開といえば、普通はこのような三角関数列を用いたものを指します。

この形式のフーリエ展開はフランスの数理物理学者フーリエ(Jean Baptiste Joseth Baron de Fourier、1768-1830)が発見したもので、熱伝導の研究から導き出されました。フーリエ展開の意味するところは任意の連続関数x(j)は複数の三角関数に分解できる、つまり任意の連続関数は複数のサインカーブを組み合わせることによって合成することができるということです。

光をプリズムによって波長の違うたくさんの単色光スペクトルに分解することは、屈折率の違いを利用したプリズムによるフーリエ展開に相当します。また波長の違う沢山のサインカーブを組み合わせることによって、色々な波形の音を合成するアナログ・シンセサイザーはこの原理を応用したものです。

一方、基本ベクトルに相当するパルス関数を用いたフーリエ展開の原理を応用したものが、アナログ波を細かいパルスに分けてその部分の強さを数字として表現するA/D(アナログ／デジタル)変換です。これはデジタル・シンセサイザーの原理であり、CDの録音原理としてお馴染みです。

(注１)　ヒルベルト空間の正確な定義は「完備な内積空間つまり内積が定義されたベクトル空間の中で、その内積から導かれるノルムによって距離が定義された完備な距離空間」というもので、実は有限次元ユークリッド空間もヒルベルト空間になります。しかしヒルベルト空間といえばほとんどの場合は無限次元のものを対象にし、ユークリッド空間といえばほとんどの場合は有限次元のものを対象にします。そのため事実上は、有限か無限かで両者を区別すると思って差し支えありません。

また量子力学では、電子などの量子の状態をヒルベルト空間上のベクトルψ(状態関数ψ)で表します。量子の色々な物理的属性を測定するということは、その属性に対応する直交座標軸にψを直交分解することに相当します。そのためヒルベルト空間は物理学分野でよく利用されます。

10．フーリエ展開

1) ヒルベルト空間

2) フーリエ展開