【７．ｔ値とは何ぞや？】

「ま、そういうわけで、今、100人の標本集団を無作為抽出したとして、その人達の体重を測定したら、平均値が60kg、標準偏差が10kgになったとするよ。そうすると……」
「ちょっと待ってくれ、伴ちゃん。その標準偏差10kgってのは、例数で割った値なのかい、それとも自由度で割った値なのかい？」
「当然、自由度で割った値だよ。これから標準偏差って言う時は、みんな自由度で割った値なんだよ」
「推測統計学だからってわけだね」
「うん、そのとおり。それで、この結果だけ見ると、確かに基準値50kgとは違うから、普通なら、『対立仮説の方が正しい』と結論するよね」
「ところがどっこい、アニはからんや弟バカリ、数学者は普通じゃないから、『帰無仮説の方が正しい』とでも結論するんだろ？」
「いくらなんでも、そこまでは言わないよ。ただね、数学者はこう考えるんだよ、『平均値60kgというのはあくまでも標本平均だから、この結果をそのまま母集団に当てはめて、対立仮説が正しいと結論するのは、ちょっと早すぎるんじゃないかな？』ってね」
「それもやっぱり、推測統計学だからだね？」
「そうなんだよ。だから、２つの仮説が正しい確率をそれぞれ計算してみて、どちらかの仮説がすごく大きな確率で正しいといえる時にしか、結論を言わないんだよ」
「つまり何だな、下手に結論を言って、後で間違ってたとわかっちゃうと、人から後ろ指を差されたりするから、よっぽど確実でなきゃ結論を言わないってわけかい？」
「うん、まあそういうことだね」
「コッスーッ！そりゃコッスイわよ、伴ちゃん。そんなミミッチー了見で、将来の日本を背負って立っていけるとでも思ってんの？クラーク博士が泣いてるぞ、少年諸君！」

と、ミミちゃんが憤慨した口調で言った。

「そ、そんな、ぼ、僕に文句言われても……」
「だいち、男らしくないわよ、そんなの。気に入んないわねェ、いけ好かないわー、断然、不愉快よっ！」
「ちょ、ちょっと待ってよ、ミミちゃん。ま、ちょっと落ち着きなってば、これは検定の話なんだから……」
「いいさ、いいさ、伴ちゃん、ミミちゃんには勝手に怒らせとけば。下手に触わると噛みつかれるぜー」と、僕。
「ウ〜、ワンワンッ！」
「おー、コワ……。で、伴ちゃん、その、仮説が正しい確率ってのは、どーやって計算するんだい？」
「それはね、前に説明したように、母平均はだいたい標本平均で推測できて、その推測誤差は標準誤差程度なんだから、今の場合……」

と言いながら、伴ちゃんは次のような式を書いた。

「……と、これぐらいの値だって推測できるよね？」
「うん、まあ、そんなとこだろーな」
「そこでこのことからね、標本平均が基準値50から離れれば離れるほど、それから標準誤差が小さければ小さいほど、『母平均μは基準値50とは違う』っていう対立仮説が、より信頼できるようになるよね？」
「何だって、何だってぇ!? まーた、わけのわからんこと言っとるなぁ？」と言って、僕はミミちゃんを振り向き、「ミミちゃん、今のわかったかい？」
「オーッホッホッホ……」
「ダメだ、こりゃ。伴ちゃん、もうちょっとわかりやすく説明してみてくれよ」
「つまりね、標本平均が60よりも70の方が、70よりも80の方が、『母平均μは基準値50とは違う』っていう確率は、より高くなるよね？」
「ふんふん、そこまでは何とかわかるな」
「次にね、標本平均が同じ60なら、標準誤差が小さいほど、母平均もより確実に60に近いわけだから、やっぱり『母平均μは基準値50とは違う』っていう確率は、より高くなるよね？」
「うーん、何となくわかるよーな気はするけど……」
「ミミちゃん、どう？」と、伴ちゃんがミミちゃんに尋ねた。
「オーッホッホッホ」
「……大丈夫？いいかなぁ、また熱でも出てきたのかなぁ……？」と、伴ちゃんは真面目に心配顔だ。
「頭がこんがらがって、真空管が切れちゃったのさ、ミミちゃんは」と、僕。
「真空管！ LSIと言って欲しーわねー、時代遅れもいーとこよ、友則君」
「ミミちゃんが作られたのは、真空管しかなかった時代なのさ」
「『メトロポリス』の女性ロボットか、あたしはァ!?」
「真空管でもLSDでもいいけど、二人とも、このことわかってくれた？」
「大丈夫、大丈夫！」
「ミミちゃんは？」
「オッケー、オッケー、あたしに任せなさーい！」
「ほんと？」
「ほんともほんと、正真正銘ほんとーよ。ハーイ、インディアン、嘘つかなーい、コメディアン、モチつかなーい！」
「じゃあ次行くけどね、このことから……」

と、伴ちゃんはまた式を書いた。

「……という値を定義するとね、このｔ値は、対立仮説が正しい確率と正比例することがわかるよね？」
「ん、そーね、よーっくわかるわ」
「イーッ!?」

何を血迷ったのか、ミミちゃんがあっさりとそう答えたので、僕と伴ちゃんは異口同音に驚きの声を上げた。

「『イーッ!?』って、何よー、その疑惑の眼差しはァ！」
「ほ、ほんとにわかっちゃったの、ミミちゃん!?」

伴ちゃんは、信じられないといった表情でミミちゃんを見つめた。

「えー、わかっちゃいましたわよ。簡単だもん、こんなの」

と、ミミちゃんは事も無げな顔付きだ。

「ほんとに、ほんと？大丈夫？やっぱり、熱でもあるんじゃないの？」
「熱なんかないってば、ほんとにもォー！だいたい、あたしがわかってもわかんなくても、『大丈夫？』って心配するのは、どーゆーわけ、一体!?」
「そりゃー、伴ちゃんがミミちゃんに惚れてるからさ。ミミちゃんが何したって心配なんだよ、彼は」と、僕。
「あら、そーなの？それならそーと、はっきりそー言ってくださればいーのに、伴人さんったらァー」
「そ、そんなことないよ。 ……な、ないことはないけど、い、今は、そんなこと、関係ないよ、やっぱり……」

純情な伴ちゃん、顔を真っ赤にしてシドロモドロになってしまった。

「ほらね、ミミちゃん？伴ちゃん、馬鹿正直だから、嘘つけないんだよねー」

僕がそう言うと、ミミちゃんは締まらないことこの上ない表情でニタニタと笑った。

「へへー」
「顔がにやけてるよ、お嬢様」
「エヘヘヘー」
「みっともないなぁ。ミミちゃんのファンが見たら、嘆くぜー」
「エッヘッヘッヘー」
「勝手にしてくれっ、もー！」
「と、とにかくね、わかったんだったら、このｔ値の意味、ちょっと説明してみてよ、ミミちゃん」
「いいわよ」

とミミちゃんは気軽に引き受け、伴ちゃんの書いた式を指差しながら、

「このｔ値ってのはァ、分子が標本平均と基準値との距離でェ、分母が標準誤差なんだからァ、標本平均が基準値から離れれば離れるほど、それから標準誤差が小さければ小さいほど、大きな値になっちゃうしィ、そーすっと、さっき伴ちゃんが言ったみたいにィ、母平均は基準値と違うって確率も高くなっちゃうからァ、結局、ｔ値と対立仮説が正しい確率は正比例しちゃうってわけでしょ？」
「おーっ!!」と、僕と伴ちゃんは口を揃えて叫んだ。
「す、すごい！り、理解しちゃってる！」

と、伴ちゃんは小さな目を思いっきり見開いて驚いた。

「はっきり言って、感動したぜ、わたしはっ！」

と僕も感嘆の声を上げ、伴ちゃんと肩を叩き合って喜びを分かち合いながら、

「よかったなぁ、伴ちゃん、キミの長い間の苦労がとうとう報われたんだ、日本の未来は明るい！」
「あ、ありがとう、みんな、みんな友則のお陰だよ、うっ、うっ……」
「馬鹿、泣くやつがあるかっ！正義は必ず勝つんだ、見たまえ、あの赤い夕日を……！」
「カラスが、『アホー、アホー！』って鳴いてるわよ、二人とも」

と、シラケ顔のミミちゃんが侮蔑の眼差しを僕等に送りながら言った。

「いやー、ノリますなぁ、伴ちゃんも」
「友則がノセるんだもんね、僕、そんなつもりなかったのに……」
「自分から、喜んでやってたくせに」
「それにしてもすごいね、ミミちゃん。完璧に正解だよ、今の説明」
「まーね、あたしだって、ちょっと本気出せばこんなもんよ。ちょろいちょろい、統計学なんて。相対性理論だって量子力学だって、ドンと来いよ！」
「それじゃあ、この後で、相対論の話もしようか？」伴ちゃん、急に顔を輝かせて身を乗り出し、「いやあ、嬉しいなあ、ミミちゃんがそんなに……」
「あら？変よ、変よ!? 急に耳が……、聞こえない、聞こえないわ、伴ちゃんの声が……！」
「クサイ芝居はやめて、『そんな話は聞きたくない』って、はっきり言ったらどーだい、ミミちゃん？」

と、僕は言ってやった。

「ハイッ、そんな話は聞きたくありません、四条先生！」
「は、はっきり言ってくれるなあ、ほんとに……」

と、伴ちゃんはがっかりした表情になったけど、すぐに気を取り直し、

「ま、それでね、統計学の話なんだけど、ｔ値について別の見方をするとね、分子の標本平均と基準値の差ってのは、母平均が基準値と違っていることを表す意味のある値、つまりシグナルで、分母の標準誤差ってのは、標本平均に関する誤差の大きさを表す意味のない値、つまりノイズだって考えられるから……」

と言って、伴ちゃんは次の式を書いた。

「……とも言えるんだって」
「エスエヌヒって、何？」と、ミミちゃんが不思議そうに尋ねた。
「僕もよく知らないんだよ、実は。何でも、ステレオマニアかなんかがよく使う言葉らしいんだけど……」
「オーディオマニアって言ってくれよ、伴ちゃん。 S/N比ってのはね、オーディオ機器の性能を表す指標の１つで、その機器が出力するシグナルとノイズの比のことさ。 S/N比が大きいほど、性能がいいんだよ」
「ヘェー、さっすがギタークラブ！友則君も、やっぱオーディオマニアなわけ？」
「とんでもない、僕は単なる音楽マニアさ。ステレオをバカスカ買うよーなお金はないし、だいいち、音楽は聴くよりもやる方が好きだからね」
「友則君、ギターも歌も上手だもんね。あたしも、楽器までとは言わないから、せめて歌でも上手に歌えたらなァー」
「でも、ミミちゃんって、けっこう歌うまいじゃない？」と、伴ちゃんが横から口を出し、「ミミちゃんの歌って、何となく性格が出てて、素直で好きだよ」
「まあ、やだわ伴ちゃんったら、そんな……」と、ミミちゃんは恥ずかしげに微笑み、「そんな嬉しーこと、もっと言ってよ」
「えーと、えーと、そ、それでね、１から対立仮説の正しい確率を引いた値が、帰無仮説の正しい確率になるから、ｔ値は対立仮説の正しい確率とは正比例的な関係があって、帰無仮説とは反比例的な関係があることになるよね」
「フウーン、それは嬉しーことじゃないけど、まァいいわ。それで？」
「その関係は、厳密に言うと正比例でも反比例でもなく、こんな感じなんだよ」

と言うと、伴ちゃんは次のようなグラフを描いた。

「……とね、指数間数的なグラフになるんだよね」
「わーい、わーい、見ーつけたァー、間違い見つけちゃったァ！」

突然、ミミちゃんが鬼の首でも取ったような歓声を上げた。

「え!? な、何が？」
「そのグラフに間違いがあるもんねー、あたし、見つけちゃったもん」
「ど、どこに……？」
「教えて欲しーかね、ン？」と、横柄な態度のミミちゃん。
「はい、小山内先生、ぜひ……」と、卑屈な態度の伴ちゃん。
「よろしい、キミのその卑屈な態度に免じて、特別に教えてしんぜよー」と言うと、ミミちゃんは伴ちゃんが描いたグラフを指差しながら、「ほら、ここ。対立仮説が正しい確率を１−Ｐとして、点線で描いて、帰無仮説が正しい確率の方をＰとして、実線にしちゃったでしょ。反対でしょ、これ？」
「あ、なんだ、これのこと？よかったぁ、これはこれでいいんだよ、実は」

と、伴ちゃんは胸をなで下ろした。

「え!? どーしてェ？だって今までの話じゃ、対立仮説の方が主役だったじゃない」
「ごめんね。また後で説明するつもりだったんだけど、統計学では、普通は帰無仮説が正しい確率を問題にして、こっちの方をＰ値って呼ぶんだよ」
「えーっ!? そんなァー……、そんな馬鹿なことってありィ？それじゃ、対立仮説の立場はどーなるのよ、一体。この寒空に空きっ腹抱えて路頭に迷うなんて、可哀相だと思わないの？」
「それもやっぱり、ひねくれた数学者の陰謀なんだな、伴ちゃん？」と、僕。
「陰謀ってわけじゃないけど、ま、簡単に言っちゃえば、帰無仮説の正しい確率の方が、計算しやすいからなんだよ」
「そんなアホらしー理由なのォ？そんな些細なことで主役の座を奪われるなんて、いっくら人のいい対立仮説だって絶対納得できないわ、断固闘うべきよ！」
「あ、あのね、ミミちゃん、これは、その、闘ってどうにかなるってもんじゃないんだけど……」
「あっまーいっ！それが帰無仮説の思うツボ、そーゆー優柔不断な態度が統計学をつけ上らせるのよ！さ、伴ちゃん、対立仮説の顔が立つよーに、尋常に説明してもらおーじゃないの。どーして帰無仮説の方が計算しやすいわけ？」
「それはね、仮説が正しい確率を計算するためには、母平均の値をはっきりと指定する必要があるからだよ。それが決まらなくちゃあ、ｔ値が計算できないもんね」
「どーしてｔ値が計算できないの？」
「さっきのこの式では……」と、伴ちゃんは前に書いたｔ値の定義式の分子を指差し、「標本平均から基準値を引いたけど、これ、本当は標本平均から母平均を引くんだよね。ただ、帰無仮説が正しいとすると、母平均と基準値が等しくなるから、実質的には基準値を引くことになっちゃうんだよ」
「じゃ、対立仮説が正しいとした時の母平均をその式に代入すれば、対立仮説が正しい確率を計算できるんじゃない？」
「うん、それはそのとおりなんだけど、対立仮説ってのは母平均が基準値と違ってるって仮説だから、母平均がどんな値なのか、はっきりとは指定できないんだよ。だって、基準値以外の値だったら、どんな値だっていいんだからね」
「あ、そーか、なるほど」と僕はうなずいて、「だから、母平均が基準値と等しいと仮定してｔ値を計算し、その値から、帰無仮説が正しい確率を計算するしかないってわけか」
「うん、そうなんだよ。そしてその確率をＰ値として、対立仮説が正しい確率は、１−Ｐとして計算するんだよ。 ……どう、ミミちゃん、これで納得できた？」
「……ん、何とかね。でも、やっぱ対立仮説ってなんか可哀相。あたし、同情しちゃうわ」

とミミちゃんがまだ不満顔なので、僕は尋ねてみた。

「随分、対立仮説に肩入れしちゃってるねぇ。親戚に、そんな名前の人でもいるんじゃないのかい？」
「別にィ。ただ、何となく帰無仮説って気に入んないのよね。なんかこう、ニヒルで、やったら二枚目ぶってる感じでしょー」
「そーかなぁ。ミミちゃん、帰無と虚無をゴッチャにしてんじゃないのかい？」
「かもね。とにかく、あたし、そーゆーのって嫌いなの。カッコーなんてどーだっていーから、もっとこう、あったかくて、人間味があって、可哀相なくらい一生懸命生きてる人が好きなのよねー」
「例えば、誰かさんのようなって言いたいんだろ？」
「やっぱ、わかる？」などと言いながら、ミミちゃんは伴ちゃんに茶目っぽい視線を送った。
「おーおー、言ってくれちゃってぇ、このぉー。全くやってられんね、こっちゃあ、まだ独り者なんだぜー」
「あたしみたいな、人を見る目を持った女なんて、そーそーいるもんじゃないもんねー」
「人を見る目を持った女ってより、物好きな女だろ？」
「どっちだっていーわよ、別に」

ミミちゃんは一向に怒った様子もなく、「いいじゃ〜ないの〜、幸せ〜なーらば〜」と、佐良直美の古い古い歌を口ずさみ、余裕たっぷりの微笑みを浮かべた。

「くっそーっ、どーだろーねぇ、余裕シャクシャクのこの態度！ちっくしょー、僕は伴ちゃんみたいに、簡単には妥協せんぞっ！」
「やせ我慢見え見えの、明らかな捨てゼリフねー、可哀相に。ま、理想を捨てないで、気長に探すのね。人生八十年、まだまだ先は長い！」

「ところで、このｔ値だけどね、この値を考え出したのは、実はフィッシャーじゃなくて、ゴゼットって人なんだよ。その人、ダブリンのビール会社の技師だったんだけど、スチューデントってペンネームで、ｔ値に関する論文を発表していて、その論文中では、ｔ値じゃなくてｚ値って呼んでいたんだよ」

と、伴ちゃんが話題を人生論から統計学に戻した。

「ｚ値？それって、何か特別の意味でもある名前なのかい？」と、僕。
「統計学ではね、統計量のことを一般にｚで表すことがあるんだよ。だけど、後になってフィッシャーがその論文を見つけて、ｚ値の重要性を見抜いてね。それで、ステューデントの功績を称えるために、彼の頭文字を取って『ｔ値』って名付けたんだよ」
「頭文字？けど伴ちゃん、studentの頭文字なら、ｔじゃなくてｓだぜ」
「うん、ｓはね、標準偏差の記号として、もう使われちゃってたから、二番目のｔにしたらしいんだよ」
「ダジャレが好きだったのね、そのフィッシャーって人」

と、ミミちゃんがさもありなんという表情で言ったので、僕は尋ねてみた。

「ダジャレが好き……？なんで？」
「だって、studentにteachするなんて、ダジャレもいーとこよ。友則君も顔負けねー」
「うーん、これはなかなかのもんじゃ。これは、ダジャレ本家たるわたしも、あえて認めてあげようじゃないか。免許皆伝も間近じゃなぁ、キミィ」
「うれしゅうございますわ、荻須家元。これで、池坊主流の将来は安泰でございますわね？」
「むむ、あとはただ花瓶を割らず、水をこぼさず、剣山で着物を破きさえしなければ、究極の奥義が極められるじゃろうて」
「な、な、なんと！ああ、私はまだまだ未熟者でございました、お恥ずかしゅうございますわ、お師匠様ァ〜！」
「あ、あのー、お取り込み中、悪いんだけど……」と、伴ちゃんがおずおずとした口調で、「ステューデントにｔ値するって、どういう意味？」

伴ちゃんのポケーッとした様子に、僕はミミちゃんと顔を見合わせ、肩をすくめて言った。

「しょーがないさ、ミミちゃん、伴ちゃんには内容が高度すぎたんだ。さあ、それじゃあ次に進もうか、伴ちゃん」
「え？でも、僕、まだ、意味がわからないんだけど……」
「いーのよ、いーのよ、もー。いつかあたしがゆっくり教えてあげるから、気をらくーにしましょーね」

と、子供をあやすような口調のミミちゃんの言葉に、伴ちゃんは割り切れない表情でつぶやいた。

「それなら、まあいいけど……、でも、ｔ値するって、ほんとに、一体……？」