(注1)　第6節で説明したように、仮説を検証するのに必要な例数は統計的仮説検定または区間推定の原理に基づいて計算します。 その計算方法は検定または区間推定の種類によって色々あり、次のようなものがよく用いられます。

1.計量尺度・1標本の場合

(1) 1標本の平均値の検定

1標本t検定の原理を応用した次のような計算式を用います。 これは第6節で説明したお座敷(式)そのものです。 (→3.1 1標本の計量値、3.3 2標本の計量値)

有意水準と検出力は研究者が任意に設定し、検出差と母標準偏差は科学的知見または探索型研究で求めた推定値を代入します。 1標本t検定の場合、検出差は母平均推定値と基準値との差になり、対応のあるt検定の場合、検出差は対応のある2標本の差の平均値になります。 有意水準を5％、検出力を80％、検出差を5、母標準偏差推定値を10として実際に計算すると次のようになります。

2.計量尺度・2標本の場合

(1) 2標本の平均値の差の検定

2標本t検定の原理を応用した次のような計算式を用います。 (→3.3 2標本の計量値)

有意水準を5％、検出力を80％、検出差を10、母標準偏差推定値を10、群1の例数と群2の例数の比を1として実際に計算すると次のようになります。

2標本の場合、一方の群の平均値を基準値にします。 そして2群の平均値が離れると、2群の総平均値を中心にして2群の平均値が反対方向にほぼ同じ距離だけ離れます。 そのため2標本の検出差は1標本の検出差のほぼ2倍に相当します。 そこでこの例では検出差を1標本の検出差の2倍にしました。 すると2群合計必要例数は1標本の必要例数とほぼ同じになります。

ちなみに同じ条件で群1の例数と群2の例数比を2として計算すると次のようになります。

この計算結果と必要例数の計算式からわかるように、総例数は群1の例数と群2の例数比が1つまり同じ例数の時に最小になります。 これは2標本t検定の原理からきています。

以上のように、群1と群2の例数比が2の時の総例数は例数比が1の時の1.125倍程度になります。 したがって群1と群2のデータを集める労力が同じなら、2群の例数をできるだけ同じにすると効率が良くなります。 しかし例えば群1が疾患群、群2が健常群で、健常群のデータよりも疾患群のデータを集める労力の方が大きい時は疾患群の例数はどうしても少なくなりがちです。 そのような時は総例数を多くするために健常群の例数を多くする必要があります。

ただし疾患群の例数があまりにも少ないと偏った群になる可能性が高くなり、母集団から満遍なく無作為抽出した標本集団と見なしにくくなります。 例えば疾患群がたった3例しか集められず、それらがたまたま男性ばかりだったとすると、「その疾患は男性しか罹患しない」あるいは「性がその疾患のリスクファクターである」という誤った結論を導いてしまう危険性があります。

そのため必要例数の計算式から理論的に求められる例数とは別に、現実的な必要最低限の例数が存在します。 臨床試験の場合、結果の信頼性をある程度高くするためには少なくとも1群10例以上は必要でしょう。

3.名義尺度・1標本の場合

(1) 1標本の出現率の検定

二項検定の正規近似検定の原理を応用した、次のような計算式を用います。 (→3.2 1標本の計数値　(2)名義尺度)

特にπ₀=0.5、つまり符号検定とその正規近似手法であるマクネマーの検定では次のようになります。

有無の母出現率は科学的知見または探索型研究で求めた推定値を代入します。 有意水準を5％、検出力を80％、有の母出現率を0.6、理論出現率を0.5つまり符号検定として実際に計算すると次のようになります。

ちなみにα=β=δ^*=0.2つまり有意水準を20％、検出力を80％、有の母出現率を0.7、理論出現率を0.5にすると、次のように実施できそうな例数になります。

4.名義尺度・2標本の場合

(1) 2標本の出現率の差の検定

出現率の差(リスク差)に関する正規近似検定の原理を応用した、次のような計算式を用います。 (→3.4 2標本の計数値　(2)名義尺度)

有意水準を5％、検出力を80％、群1の母出現率を0.6、群2の母出現率を0.4、群1の例数と群2の例数の比を1として実際に計算すると次のようになります。

2群の出現率の差を1標本の検出差の2倍にしてあるのは計量尺度の場合と同じ理由です。 すると、やはり2群合計必要例数は1標本の必要例数とほぼ同じになります。 ちなみにα=β=δ^*=0.2つまり有意水準を20％、検出力を80％、群1の母出現率を0.7、群2の母出現率を0.3、群1の例数と群2の例数の比を1にすると、次のように実施できそうな例数になります。

(2) リスク比の検定

リスク比に関するχ²検定の原理を応用した、次のような計算式を用います。 (→3.4 2標本の計数値　(2)名義尺度)

有意水準を5％、検出力を80％、群1の母出現率を0.6、群2の母出現率を0.4、群1の例数と群2の例数の比を1として実際に計算すると次のようになります。

(3) オッズ比の検定

オッズ比に関するχ²検定の原理を応用した、次のような計算式を用います。 (→3.4 2標本の計数値　(2)名義尺度)

有意水準を5％、検出力を80％、群1の母出現率を0.6、群2の母出現率を0.4、群1の例数と群2の例数の比を1として実際に計算すると次のようになります。

5.名義尺度・対応のある2標本の場合

(1) 変化パータンの出現率の検定

データが名義尺度で対応のある2標本とは、例えば薬剤投与前後で尿蛋白の定性試験を実施し、結果を正常・異常で判定したデータなどが相当します。 その結果を2×2の分割表にまとめると次のようになります。

表1.8.1 投与前後の尿蛋白の判定

投与前＼投与後	正常	異常	計
正常	(1-π1)(1-π2)	(1-π1)π2	(1-π1)
異常	π1(1-π2)	π1π2	π1
計	(1-π2)	π2	1

この時、もし投与前と投与後で異常率が変わらなければπ₁=π₂になり、正常→異常に変化する確率(1-π₁)π₂と、異常→正常に変化する確率π₁(1-π₂)は等しくなるはずです。 そこで正常→異常と変化した症例と異常→正常と変化した症例だけを対象にして、これらの出現率がどちらも50％であるかどうかを符号検定によって検定することができます。

この時の必要例数の計算は、符号検定の正規近似手法であるマクネマーの検定の原理を応用して行います。 (→3.2 1標本の計数値　(2)名義尺度、3.4 2標本の計数値　(2)名義尺度)

有意水準を5％、検出力を80％、投与前の母異常出現率を0.6、投与後の母異常出現率を0.5として実際に計算すると次のようになります。

この場合、次表のように投与前と投与後のデータを対応のない2標本扱いし、π₁とπ₂を直接比較する出現率の検定を行うこともできます。 ただし対応のない2標本のデータはお互いに独立であり、関連性はありません。 しかし投与前後のデータには関連性があるので、出現率の検定を行うには関連性を考慮した計算式を用いる必要があります。

表1.8.2 投与前後別尿蛋白の判定

時期＼判定	正常	異常	計
投与前	(1 - π1)	π1	1
投与後	(1 - π2)	π2	1
計	(1 - π1) + (1 - π2)	π1 + π2	2

仮に関連性がないと仮定し、有意水準を5％、検出力を80％、投与前の母異常出現率を0.6、投与後の母異常出現率を0.5としてこの時の必要例数を計算すると、たまたま同じ388例になります。 符号検定はnを検定対象にするので例数が少なくなる代わりに検出差π_dが拡大されます。 そのためたいていの場合は対応のない2標本扱した時よりも必要例数が少なくなりますが、条件によっては多くなる時もあります。

ただし対応のない2標本扱いすると、投与前の「正常」または「異常」の症例が投与後にどのように変化したかはわかりません。 そのため投与前後の変化の様子を分析したい時は対応のある2標本扱いする必要があります。 (→3.4 2標本の計数値　(2)名義尺度)

6.順序尺度・1標本の場合

(1) 符号付き順位平均値の検定

ウィルコクソンの符号付き順位検定の原理を応用した、次のような計算式を用います。 (→3.4 2標本の計数値　(1)順序尺度)

有意水準を5％、検出力を80％、符号付き順位平均値の例数に対する割合(r_s/n)を20％、同位なしとして実際に計算すると次のようになります。 なお順序分類尺度のデータの場合はたいてい同位があるのでK=0.8〜0.9として、この例数の80〜90％程度の例数で良いことになります。

7.順序尺度・2標本の場合

(1) 順位平均値の差の検定

マン・ホイットニィのU検定の原理を応用した、次のような計算式を用います。 (→3.4 2標本の計数値　(1)順序尺度)

有意水準を5％、検出力を80％、群1の母勝率を70％、群1の例数と群2の例数は同じ(s=1)、同位なしとして実際に計算すると次のようになります。 この場合も順序分類尺度のデータではK=0.8〜0.9とし、この例数の80〜90％程度の例数で良いことになります。

この場合の基準値50％は値が変化しない定数です。 そのため計量尺度や名義尺度と違って検出差は1標本の場合のほぼ2倍にならず、1標本と同じ値になります。 すると、やはり順序尺度の場合も2群合計必要例数と1標本の必要例数はほぼ同じになります。

8.相関係数の場合

(1) 相関係数の検定

相関係数の検定の原理を応用した、次のような計算式を用います。 (→5.1 相関係数と回帰直線、5.3 計数値の相関分析と回帰分析)

母相関係数は科学的知見または探索研究で求めた推定値を代入します。 有意水準を5％、検出力を80％、母相関係数を0.2として実際に計算すると次のようになります。

ちなみに群1と群2を「1：群1　0：群2」というダミー変数で表した時の相関係数の検定は2標本t検定に相当します。 また四分点相関係数は2×2分割表の相関係数であり、その検定はマンテル・ヘンツェルの検定に相当します。 そのため相関係数と平均値の間、そして四分点相関係数と出現率の間には次のような関係があります。 (→5.1 相関係数と回帰直線 (注4)、5.3 計数値の相関分析 (注2))

この式を利用すると、計量値の場合の必要例数も計数値の場合の必要例数も相関係数の必要例数を求める式によって同じように計算することができます。 例えば2番の計量値・2標本の計算例と、4番の計数値・2標本の計算例についてこの式を利用して計算すると、次のようにほぼ同じ例数になります。

○計量値・2標本の計算例：δ = 10　　σ = 10

○計数値・2標本の計算例：π₁ = 0.6　　π₂ = 0.4 　　π = 0.5

9.傾向検定の場合

(1) 出現率に関する回帰係数の検定

コクラン・アーミテージの傾向検定の原理を応用した、次のような計算式を用います。 (→5.3 計数値の相関分析と回帰分析)

表1.8.3 説明変数と出現率

説明変数	例数	非出現例数	出現例数	出現率
x1	n1	s1	r1	p1
:	:	:	:	:
xi	ni	si	ri	pi
:	:	:	:	:
xk	nk	sk	rk	pk
全体	N	S	R	p

以上のように、各説明変数群の出現率から順位相関係数を計算することができます。 そしてその順位相関係数から5番で説明した方法で必要例数を計算し、それを説明変数の群数で割った値が1群の必要例数になります。 この方法では各説明変数群の例数が等しい時の必要例数しか計算できません。 しかし各説明変数群の出現率から必要例数を計算することができるので便利です。

なお多重比較の必要係数の計算式については第4章で、級内相関係数の必要係数の計算式については第5章で、生命表解析の必要例数の計算式については第11章で、クロスオーバーデザイン(生物学的同等性試験)の必要例数の計算式については第14章で説明します。 (→4.1 多標本の計量値　(注5)、 5.4 級内相関係数と一致係数　(注2)、 11.6 パラメトリック生命表解析　(注4)、 14.5 生物学的同等性試験　(注2))

10.探索型研究の場合

(1) 結果の信頼性

仮説を検証する検証型研究ではなく仮説を組み立てるためのデータを集める探索型研究の場合、原則として必要例数の計算はしません。 しかし集めたデータの信頼性を高くするためには、ある程度の例数が必要になります。

例えば、ある疾患のリスクファクターを探索する研究を行いたいとします。 そしてその疾患の一般的な発症率が10％と予想されたとすると、少なくとも10例以上は調査しないと疾患例が観測できない恐れがあります。 そしてリスクファクターを探索するためには、そのリスクファクターを持っている人と持っていない人の発症率を比べる必要があります。

例えば性がリスクファクターであることを検討するためには、男と女の発症率を比べ、一方が他方よりも高いかどうかを調べる必要があります。 そのため男女比を1対1とすると、少なくとも全体で20例以上はないと男女の発症率を比べることはできません。 ところがこれは必要最低限の例数ですから、発症率の信頼性を高くするためにはこの5〜10倍の例数が欲しいところです。

以上の考察から、ある疾患のリスクファクターを探索するには疾患の予測される発症率をπ_dとし、リスクファクターの予測される発現率をπ_fとすると、全体として次のような例数が必要になります。

例えばπ_d=0.1、π_f=0.5とすると次のようになります。

またデータから計算した統計量の信頼性は例数の平方根に比例して高くなります。 そして多変量解析のように多くの変数を用いる解析法では、得られた統計量の信頼性は変数の数に反比例して低くなります。 そのため多変量解析で得られた統計量は、一般に次のような条件を満足していないと信頼性の高いものにはなりません。 (→7.2 重回帰分析の解釈 (注2))

例えば変数の数が10個とすると次のようになります。

多変量解析を用いる探索型研究では、こうして計算した例数と、前述の出現率に基づいて計算した例数の両方を考慮して試験例数を決定します。

(2) 出現率または平均値の区間推定

たとえ探索型研究でも、結果についてある程度の信頼度を確保したい時は信頼区間の原理に基づいて必要例数を計算します。

許容誤差は科学的な誤差範囲であり、信頼区間の絶対精度は数学的な誤差範囲です。 したがって信頼区間の原理に基づく必要例数の計算は、数学的な誤差範囲を科学的な誤差範囲以内にする時の必要例数を求めていることになります。 そして計量値の計算式は許容誤差eを検出差にし、検出力を50％(βエラー=0.5)にした時のお座敷(式)に相当します。 信頼区間の必要例数と統計的仮説検定の必要例数の詳しい関係については第7節の(注2)を参照してください。

一方、計数値の計算式はπを2群の出現率の平均にし、許容誤差eを検出差つまり2群の出現率の差(π₂-π₁)にし、検出力を50％(βエラー=0.5)にした時の2標本の計算式に相当します。 そして(1)で求めた必要最低限の例数の10倍の例数は、95％許容誤差eをπの半分にして求めた必要例数に近似します。 例えば母出現率を0.1とすると必要最低限の例数は10例であり、その10倍は100例です。 この時、95％許容誤差を0.05として必要例数を計算すると次のようになります。

ちなみに、ある特定の集団を対象にしたアンケート調査のように、全体の例数がNである有限母集団から標本を抽出する時の必要例数は、上記の計算式に有限(母集団)修正(finite population correction)を施した次のような計算式を用います。

(3) 回帰直線の区間推定

探索型研究では回帰直線もよく用いられます。 そして回帰直線では目的変数yの推測値の信頼区間を求めることができ、それは平均値の信頼区間を2次元に拡張したものに相当します。 そこでそれを利用して回帰直線の必要例数を求めることができます。

第5章第5節で説明するように、ある説明変数の値x₀に対応するy推測値は次のようになります。 (→5.5 各種手法の相互関係 (注3))

yの分散V_yと平方和S_yyと寄与率r²の関係から、残差分散V_Rを次のように近似できます。 そしてこの近似式を用いて母残差分散σ_R²を推測することができます。

この推測値と|x-m_x|がxの標準偏差SD_xと同じ時の絶対誤差eから必要例数は次のようになります。

この式から、回帰直線の必要例数は平均値の必要例数に2(1 - ρ²)をかけた値であることがわかります。 そこでy推測値の絶対精度eを指定し、先行研究や予備試験の結果などからyの母分散σ_y²と母寄与率ρ²を推測して必要例数nを求めることができます。 例えばyの推測値とyの平均値の絶対精度が同じなら、母寄与率ρ²=0.5の時、回帰直線の必要例数は平均値の必要例数とほぼ同じ値になります。

一般的な線形回帰分析、例えば重回帰分析の信頼区間も回帰直線と同じ原理で求めることができるので、必要例数も同じ原理で求めることができます。 ただし説明変数が多くなると必然的に寄与率が大きくなるので、回帰直線よりも必要例数が少なくなってしまいがちです。 そこでこの計算方法で求めた必要例数と、(1)で説明した多変量解析の統計量が信頼できるために必要な条件――n≧{(変数の数)² または (変数の数)×10}の大きい方――から求めた必要例数の両方を考慮して試験の必要例数を決定するのが無難です。 (→7.2 重回帰分析結果の解釈 (注3))

(4) 副作用の出現確率の計算

薬剤の臨床試験は主に有効性について検討するので、試験の必要例数はたいてい有効性に関する統計的仮説検定の原理に基づいて求めます。 しかし薬剤の臨床試験では有効性だけでなく安全性つまり副作用発現率も検討するのが普通です。 ところが一般に副作用の発現率は有効率よりもかなり小さいので、有効性評価目的の臨床試験で得られた安全性評価の信頼性は有効性評価の信頼性よりもかなり低くなります。 つまり副作用発現率の信頼区間を求めると、その絶対精度がかなり大きくなってしまうのです。

それでも副作用が発現した時は、その発現率の信頼性を信頼区間によって評価できるので、ある程度は客観的な検討が可能です。 しかし副作用の発現率が非常に小さいと、有効性評価目的の臨床試験では副作用が観察されない可能性が高くなります。 そのため副作用が発現しなかったからといって「副作用が無い」とは言い切れません。 そのような時は発現率の小さい副作用が1例以上発現する確率を臨床試験の例数に基づいて求め、それを論文の考察部分に本研究の限界として記載することがあります。

その確率は二項分布(binomial distribution)を利用して求めることができます。 二項分布の詳しい説明は第3章・第2節を参照していただくことにして、例えば有効性評価目的の臨床試験の例数が100例の時、発現率の小さい副作用が1例以上発現する確率は次のようになります。 (→3.2 1標本の計数値　(2)名義尺度)

以上の計算結果より、100例の臨床試験を行った時、発現率5％の副作用はほぼ確実に観察できるものの、発現率1％の副作用は観察できるとは限らず、発現率0.1％の副作用はめったに観察できないと考えられます。

薬剤の使用上の注意では副作用の発現率が0.1％未満の時は「まれに」という副詞を付け、これが副作用発現率の最低ラインになります。 そのため新薬の市販後調査(新薬開発の第4相に相当)は発現率0.1％の副作用を精度良く観察できるような例数を集めます。 出現率の信頼区間の原理から、発現率0.1％の副作用が1例以上発現する確率が95％になる例数と、発現率0.1％の信頼区間の絶対精度が発現率以下になる時の例数を求めると次のようになります。

以上の計算結果より、市販後調査で発現率0.1％の副作用を精度良く観察するためには少なくとも4千例以上、できれば1万例以上の例数が必要であることがわかると思います。

(注2)　交差検証法には色々な手法がありますが、主なものは次のとおりです。

1.leave-one-out交差検証(LOOCV：leave-one-out cross-validation、1個抜き交差検証)

n例の標本から1例だけを取り出して検証用データにし、残りの(n-1)例を作成用データにします。 そして作成用データを用いて予測式――例えば判別関数――を作成し、その予測式を検証用データに適用して予測が的中しているかどうか――判別関数の場合は正しく判別されるかどうか――を検証します。 これをn例全部について行い、n回の結果を平均して予測精度――判別関数の場合は判別確率――を求めます。

この方法は予測精度を過小評価する割合が小さいので、最もよく用いられます。

2.K-分割交差検証(K-fold cross-validation)

n例の標本をK個の部分群に無作為に分割し、その中の1つの部分群を検証用データにし、残りの(K-1)個の部分群を作成用データにします。 そして作成用データを用いて予測式を作成し、その予測式を検証用データに適用して予測が的中しているかどうかを検証します。 これをK個の部分群全部について行い、K回の結果を平均して予測精度を求めます。

この方法はジャックナイフ推定値と密接な関係があるのでジャックナイフ法(jackknife method)と呼ばれることもあります。 この方法でKを例数nと同じにしたものが1番のleav-one-out交差検証です。

3.ホールドアウト検証(fold out validation)

n例の標本から無作為に標本を選択して検証用データにし、残りの標本を作成用データにします。 そして作成用データを用いて予測式を作成し、その予測式を検証用データに適用して予測が的中しているかどうかを検証します。 通常、検証用データの例数はnの3分の1以下にします。

本文中で説明した予測式の検証法はこの方法に相当し、医学分野でよく用いられます。 しかしこの方法は作成群と検証群の間でデータを交差させることがないので、厳密に言うと交差検証法ではありません。 そしてこの方法では信頼性の高い予測精度を求めることはできません。

なおジャックナイフ推定値(jackknife estimate)はロバスト推定値(robust estimate、外れ値の影響を受けにくい推定値)の一種であり、次のように定義されています。

ジャックナイフ推定値はグループの例数を1にすると信頼性が最も高くなるので、通常はr=1にします。 そしてその場合、平均値のように全てのデータを均等な重みで線形結合した母数に関するジャックナイフ推定値はθ₀と一致します。

ジャックナイフ推定値はロバスト推定値の一種であると同時にリサンプリングによる推定値の一種でもあります。 リサンプリングは母数とその分散を理論的に求めるのが難しい時に、観察データを母集団扱いし、そこから少数例の標本集団を抽出して母数とその分散の推定値を強引に求める方法です。

それにはデータの重複を許して標本を抽出するブートストラップ法(bootstrap method)、データの重複を許さずに全てのデータの組み合わせを標本にする並べ替え法(permutation method)、そしてデータを複数のグループに分割し、グループの重複を許して標本を抽出するジャックナイフ法(jakknife method)などがあります。 また乱数を利用して特定の条件に従うデータを発生させ、それを用いて結果を推測するモンテカルロ法(Monte Carlo simulation)というシミュレーション法もあります。

リサンプリング法もシミュレーション法もコンピュータを利用した力まかせの方法です。 コンピュータの発展によって、現在、一部の研究分野でこれらの方法が流行しています。 しかしリサンプリングはコップの中で嵐を起こしているようなものであり、どんなにものすごい嵐でもそれがコップの外まで影響することはない――つまり結果が観測データに依存するので、母集団にまで適用できる普遍的な結果は得られません。 またシミュレーションは結果が設定条件に依存するので、条件をうまく設定することよって任意の結果を得ることができてしまいます。 そのためリサンプリングもシミュレーションも理論的なモデルから数学的に演繹される結果を確認するのに向いています。

こういった力まかせの方法を用いなくても、適切なモデルを選択して理論的に考えれば、たいていの場合は母数とその分散を数学的に推測することができます。 金と力にものをいわせて腕ずくで物事を解決しようというのは、何事においてもあまり誉められたことではないでしょう。