統計学入門−第18章

この章では判別分析を利用した多群の判別、重判別分析の原理と結果の解釈方法、そして多変量分散分析との関係について解説します。

18.1 多群の判別

(1) 多群のデータ

医学分野ではひとつの疾患を判別するだけでなく、2つ以上の疾患を同時に判別したり、疾患に色々なタイプがあって、そのタイプまで判別したい時があります。そのような場合は疾患と正常の判別という2群の判別ではなく、疾患Aと疾患Bと正常の判別というような多群の判別が必要になります。例えば正常、疾患A、疾患Bの3群について5種類の検査項目(計量値)を測定したところ、表18.1.1のようになったとします。

(2) 2群ごとの判別

表18.1.1 3群の検査項目
ID	群	検査項目1	検査項目2	検査項目3	検査項目4	検査項目5
N01	正常	0	2	2	4	3
N02	正常	0	3	3	5	5
N03	正常	1	4	3	3	2
N04	正常	2	4	5	4	2
N05	正常	0	5	4	3	3
N06	正常	1	6	3	3	6
N07	正常	0	6	5	6	6
N08	正常	2	6	6	4	4
N09	正常	0	7	5	7	4
N10	正常	0	8	6	2	5
A01	疾患A	0	1	3	6	5
A02	疾患A	1	1	4	4	4
A03	疾患A	0	2	3	1	3
A04	疾患A	0	2	5	7	5
A05	疾患A	2	3	4	5	8
A06	疾患A	0	3	5	3	1
A07	疾患A	2	3	6	2	3
A08	疾患A	0	4	4	2	3
A09	疾患A	0	4	5	4	6
A10	疾患A	1	4	6	3	2
A11	疾患A	0	5	5	6	4
A12	疾患A	0	5	6	4	7
A13	疾患A	1	5	7	3	1
A14	疾患A	0	6	7	3	6
A15	疾患A	0	7	8	5	5
B01	疾患B	0	2	2	3	4
B02	疾患B	1	2	4	6	7
B03	疾患B	0	3	3	4	3
B04	疾患B	0	3	4	6	5
B05	疾患B	0	4	4	7	6
B06	疾患B	2	4	4	3	2
B07	疾患B	0	4	5	8	6
B08	疾患B	0	5	3	6	7
B09	疾患B	0	5	4	4	3
B10	疾患B	0	6	5	6	5
B11	疾患B	1	7	6	5	8
B12	疾患B	0	7	7	5	4

このデータを用いて3群の判別を行う時、最初に考えられるのは2群ごとに判別分析を適用し、それらの結果を総合的に検討して群の判別を行うという方法です。その方法を適用すると次のようになります。 (→第9章判別分析)

○正常群と疾患A群の判別
判別関数：z = -2.99092 - 2.4002x₁ - 3.56353x₂ + 4.21481x₃ - 1.01225x₄ + 1.00335x₅
x₁ 〜 x₅：検査項目1 〜検査項目5
マハラノビスの汎距離：D = 3.1748　　相関比：η = 0.85116
D/2 = 1.58741　　誤判別確率：p = 0.0562104(判別確率：1 - p = 0.94379)
○正常群と疾患B群の判別
判別関数：z = -1.34854 - 0.61143x₁ - 0.860857x₂ + 0.833383x₃ + 0.0871461x₄ + 0.3924x₅
マハラノビスの汎距離：D = 1.16505　　相関比：η = 0.51978
D/2 = 0.582521　　誤判別確率：p = 0.280108(判別確率：1 - p = 0.719892)
○疾患A群と疾患B群の判別
判別関数：z = 0.387397 + 1.54431x₁ + 2.29165x₂ - 2.9188x₃ + 1.32841x₄ - 0.529507x₅
マハラノビスの汎距離：D = 2.34707　　相関比：η = 0.77135
D/2 = 1.17354　　誤判別確率：p = 0.120291(判別確率：1 - p = 0.879709)

この結果を見ると正常群と疾患A群の判別確率が最も高く、次が疾患A群と疾患B群、最後が正常群と疾患B群であることがわかります。つまり正常群と疾患A群が最も異なっていて、疾患B群は疾患A群よりも正常群に近いと解釈できます。そして3群の判別に大きく寄与するのは検査項目2と検査項目3ですが、正常群と疾患A群および疾患B群を判別する時と、疾患A群と疾患B群を判別する時では判別係数の符号が反対になる、つまり影響の仕方が反対になることがわかります。

上記の判別関数を用いて、例えば疾患A群のA07の症例について判別スコアを計算すると次のようになります。

○正常群と疾患A群の判別スコア
z = -2.99092 - 2.4002×2 - 3.56353×3 + 4.21481×6 - 1.01225×2 + 1.00335×3 = 7.7925
z ＞ 0より疾患A群と判別
○正常群と疾患B群の判別スコア
z = -1.34854 - 0.61143×2 - 0.860857×3 + 0.833383×6 + 0.0871461×2 + 0.3924×3 = 1.197819
z ＞ 0より疾患B群と判別
○疾患A群と疾患B群の判別スコア
z = 0.387397 + 1.54431×2 + 2.29165×3 - 2.9188×6 + 1.32841×2 - 0.529507×3 = -6.093534
z ＜ 0より疾患A群と判別

最初の判別スコアと2番目の判別スコアから、この症例は正常の確率は低いことがわかります。そしてさらに3番目の判別スコアも考慮すると、疾患Aの確率が最も高いことがわかります。したがってこの症例は疾患Aと判別することになり、正しく判別することができます。

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第18章 重判別分析

18.1 多群の判別

(1) 多群のデータ

(2) 2群ごとの判別

第18章　重判別分析